【祿】主板熱鬧指數（理論 · 上篇）—— 將大市成交量標準化

筆者研發並發表大市探熱針「恆指沸騰指數」後，在 Blog 裏曾掀起一番討論如何提升其測市的表現。及後筆者受到 Blog 友 Roy 的啟發，研究大市成交量對回報的影響，目標是為測市指標安裝「警報器」或「第二引擎」，務求進一步提升指數基金投資法的長期回報率。

經過一系列的研究和測試，現將研究過程及結果分別在上、下兩篇發表。筆者認為，探索的過程和結果同樣重要，而且也很享受著過程中將大學的統計知識溫故知新。雖然本篇比較沉悶，但還是讓筆者發一下寫統計教科書的癮吧！ :D

探索大市成交量數字

在沸指的討論中，筆者在回應 Roy 的貼文時已即時提出：「今日的成交量不能直接跟30年前的成交量比較⋯⋯較理想的做法是利用恆指或大市總市值 Normalize。」需知道 30年前一日有 10億成交已是大新聞，今日過千億成交卻是等閒事。要知道成交量（以金額計）受大市氣氛、貨幣供應以及大市水平等因素影響，而我們有興趣的只是相對的大市氣氛，希望用交投量評估市場是死寂、冷清、活躍還是熾熱，所以便有「正常化」（Normalization）的必要。

最理想的正常化分母是大市總市值。用每日成交金額除以大市總市值，得到的便是整個市場當日股票易手的比例。舉個簡單例子：假設 iPhone 交易所共有 1,000 部 iPhone X，每部價值 $10,000，總市值就是 $1千萬；今天交易所買賣了 8 部手機，總值 $80,000，易手的手機佔大市總值便是 $8萬/$1千萬 = 8部/1,000部 = 0.8% 或 8‰（1‰ = 0.1% = 10 點子，筆者工作關係習慣使用千分率）。假設 iPhone 的價格現在被炒高一倍至 $20,000 一部，但假設交易數量不變，易手量佔市值依然是 8‰ = $16萬/$2千萬。這例子說明利用總市值 Normalize 後的成交量（即「成交比例」），不會受貨幣供應或股價因素影響。

那麼市場上有 0.8% 的股票易手，算是死寂還是熾熱？這便要看歷史數據了。

港交所主板的歷史成交金額以及歷史市值的數據，可以簡單在港交所網站免費取得。數據大約包含 30 年歷史——歷史成交額由 1986年 4月起提供每日數據，而歷史市值同樣由 1986年4月起提供，但僅提供每月月末的市值數據，直至 1994年12月末才開始提供每日收市市值。30年每月數據，覆蓋和頻率剛巧切合筆者就沸騰指數歷史表現的分析。如果讀者希望做更高頻率的分析，可能就需要放棄某段歷史，或另找數據庫了。

得到數據後，便可以為 30 年歷史中的每個月，計算平均每個交易日的「成交比例」。對於一個曆月而言，算式如下：

成交比例 = 平均每日交易金額 / 平均市值

其中    每日交易金額 = 該曆月的成交金額總和 / 交易日數

            平均市值 = ( 該曆月月末的總市值 + 上一曆月月末的總市值 ) / 2

結果如下圖：

在 Excel 成圖後筆者第一反應是暗喜，因為數據反映 30 年來的成交比例並沒有翻天覆地的改變。縱使 Trendline 是微微向上，反映現在購買股票的渠道多了方便了，也許也因為多了些程式交易（Algo Trading），但在 Order of Magnitude 上並沒有太大的變化，歷史數據應該會很有參考價值。這正如恆指的歷史股息率和市盈率在過去 30年的區間並沒有太大的變化，使得「恆指沸騰指數」具有參考價值。

「主板熱鬧指數」的構築

由於歷史數據顯示成交比例成上升趨勢，必須去除此趨勢（即 De-Trend）數據才能用於未來測市。例如 80、90年代曾有不少日子成交比例低於 2‰，但金融海嘯後這現象基本上已不會發生。如果我們單看成交量的歷史數據並發現成交比例低於 2‰ 的日子是有利於後市，這結果一來根本在未來就沒有實用價值，二來只是敍述了某段歷史的表現（即 「2‰ 以下表現較佳」只是代表了「80、90年代表現較佳」而非表示在此水平的成交比例的一些實際意義，是統計學中某程度的共因謬誤 Confounding Error）。

認清要 De-Trend 之後，問題來了，要用甚麼方法來 De-Trend？這個是統計學中時間序列（Time Series）的課題。坦白說筆者當年大學上時間序列課時都是得過且過，到現在「書到用時方恨少」，所以都是用自己三教九流的方法，大抵沒有正統統計學基礎。

第一個想法是做差分（Differencing），即每項減去之前一項。這方法用來套入 AR、MA 模型做預測是好，但用來做指標檢測水平卻沒什麼作用。

第二個想法是用線性迴歸（Linear Regression），把一條最佳直線當成是最佳趨勢線放到序列上，然後每個項減去趨勢線的相應項。然而盲目套用這方法有兩大謬誤：

1. 線性迴歸的基礎假設是殘差（Residual）跟從常態分佈，然而觀乎成交比例的數據，大部分日子風平浪靜少部分飆升亢奮熾熱，很明顯不是 Normally distributed。
2. 利用 1987-2017 整整 30 年數據找出最佳直線放在圖上，再用這直線來 De-Trend 1987 年的點，意味分析員在 1987 年有超能力預知 30 年後的成交比例水平。

處理第一個問題的過程也很意外的。筆者在利用統計軟件探索數據時，無意中發現成交比例的數據取自然對數（Natural Logarithm）後，竟然大致遵從常態分佈（見下圖）。即是說成交比例大致遵從對數常態分佈（Lognormal Distribution）。讀者不要被其名字嚇壞了，其實日常生活中很多東西都可以用對數常態分佈描述模型的，例如是一頭牛的牛奶產量、一個地方的雨量、一個病毒的潛伏期等等。更甚者，曾淵滄博士的曾氏通道，說穿了就是假設恆指跟從對數常態分佈，然後做線性迴歸（當然筆者在前文指出這個假設不太好，恆指的對數要比常態分佈表現得更尖峰厚尾就是了）。可以說，數學上，筆者往後的動作是跟曾氏通道分析是一致的，但筆者在統計學上的論證（看似）比較嚴謹。

要處理第二個問題，方法就是避免使用未來的數據去分析過去的數據點。換句話說，就著每一個數據點，我們都可以利用該點之前的所有數據點（的對數），以迴歸做一條趨勢線。讀者可能也聽說過「移動曾氏通道分析」 （可參考此 Blog 文章），正正就是這個概念了。不過，這就要犧牲最初幾年的數據點，因為利用最初幾年這麼少觀測點所畫成的趨勢線，基本上是不準確的。由於成交比例圖看似首 10 年和次 10 年來了一個循環，筆者決定犧牲首 10 年的數據，製作 20 年歷史的「主板熱鬧指數」。

以 1996 年 12月的數據點為例，筆者利用 1986年 12月 至 1996年 11月共 120 個月的數據，做一次對數線性迴歸並做出一條趨勢線，然後利用這條趨勢線預測下一個數據點（即1996 年 12月）的成交比例。由於下一個月的成交比例是隨機的，所以我們只能給予一個隨機分佈去描述我們的預測。根據我們的假設，這個隨機分佈就是對數常態分佈（Lognormal Distribution），而迴歸結果能給予這分佈的參數（Parameters）。利用這個分佈，我們可以描述，有多大的機會，下一個月的成交比例會在某數值之下。

1996年 12月的實際平均成交比例在 2.446‰，而根據模型預測，有 83.4% 的機會成交比例會在此數字以下，只有 16.6% 的機會成交比例會在此數字之上。換人講的說話，就是考慮歷史趨勢後，1996年 12月的實際成交比例是偏高的；而至於有多高，就是大約每 6 個月有 1 個月（16.6% = 1/6）的成交比例比這個月的要高；另外 5 個月要比這個月的要低。

這個 83.4% 機會率，就是筆者新開發的「主板熱鬧指數」；指數依然是 0-100 為限，指數愈高代表主板交投愈熾熱，指數愈低代表主板交投愈疏落。

將上三段重覆 239 遍，建立 239 個迴歸模型後，就能得到下圖（實際上建立這 239 個迴歸模型只是一分鐘的 Excel 工作；預備分析用的數據所花的時間何只百倍）：

至此「主板熱鬧指數」的構築大致完成，下篇將會探討大市過往在不同交投氣氛下的後市表現，以及如何利用「主板熱鬧指數」進一步提升「恆指沸騰指數」的回報表現。